矩阵是计算机图形学中最基础也是最必不可少的线性代数知识之一，虽然大多数现代游戏引擎已经造好了空间变换这个轮子，我们在脚本中直接调用相应API即可完成此类操作，但知其然也要知其所以然，所以写下此文，以便学习、总结和记忆。文中若有不正确的地方，还请不吝赐教。

在二维空间中引入矩阵的概念，可以很方便的对二维空间图形进行移动、旋转和缩放操作，理解其涉及的数学原理之后，我们能够方便的将其引入三维空间。

一、首先，我们在不引入矩阵的情况下，考虑如何对二维空间图形进行移动、旋转和缩放操作。

1、移动

以二维空间中的一个三角形△为例（下文皆以△为例）。取△的某个顶点为p(x, y, z)，对△进行移动操作后，该顶点变为p’(x’, y’, z’)。p在x、y、z坐标移动的距离分别为Tx、Ty、Tz。（因为在二维空间，所以z、z’、T3皆为0）

得出公式：

x’ = x + T1
y’ = y + T2
z’ = z + T3

也就是说，为了移动△，我们只需要对其每个顶点坐标的分量(x和y)加上△在X轴和Y轴上平移的距离常量即可。

2、旋转

考虑对△进行这样的旋转操作：绕Z轴，逆时针旋转β角度。点p(x, y, z)旋转后变成p'(x’, y’, z’)。取r为p到坐标轴原点的距离，α为X轴与r的夹角角度，α + β则为旋转后X轴与r的夹角角度。

(1) 计算p的坐标：

x = r cosα
y = r sinα

(2) 根据上述公式可推导计算出p’的坐标：

x’ = r cos(α + β)
y’ = r sin(α + β)

(3) 根据两角和公式得出：

x’ = r (cosα cosβ – sinα sinβ)
y’ = r (sinα cosβ + cosα sinβ)

两角和公式为：
sin(a ± b) = sina cosb ± cosa sinb 
cos(a ± b) = cosa cosb ± sina sinb

(4) 将(1)中的公式代入得出：

x’ = x cosβ – y sin β
y’ = x sinβ + y cos β
z’ = z

根据旋转角度β计算出其正弦和余弦，代入(4)中的公式后，即可得出△旋转后各顶点的坐标。如果指定一个负β值，则△的旋转反向。

3、缩放

设△在X轴、Y轴、Z轴方向的缩放因子分别为S1、S2、S3，则：

x’ = S1 × x
y’ = S2 × y
z’ = S3 × z

缩放操作比较好理解，只要将△各顶点坐标分量分别乘以各坐标轴方向的缩放因子即可。

二、接下来引入矩阵，看看矩阵是如何巧妙转化上述公式的。

开始之前，我们还必须了解矩阵和矢量是如何相乘的，乘法是矩阵变换操作的首要方式。这里使用一个4×4矩阵M和矢量V，计算后得出矢量V’，对应如下等式：（下文皆以M、V、V’为例）

V’(x’, y’, z’, w’) = M[(a, b, c, d),
                       (e, f, g, h),
                       (i, j, k, l),
                       (m, n, o, p)] × V(x, y, z, w)

那么：

x’ = ax + by + cz + dw
y’ = ex + fy + gz + hw
z’ = ix + jy + kz + lw
w’ = mx + ny + oz + pw

也就是说，矩阵和矢量相乘，应将矩阵按行的元素与矢量元素一一对应相乘并计算其和，最后以矩阵各行计算结果为元素，组合得出一个新矢量。

1、变换矩阵：移动

比较下面两个等式：

x’ = x + T1
x’ = ax + by +cz +dw

也就是说，当a = 1， b和c等于0，d = Tx，w = 1时，两个等式的意思是相同的！它们表示某点的x分量在X坐标方向的平移结果，同理可以得出另外两个轴相应的情况。由于需要满足w = w’（w称为齐次坐标，一般取值为1.0，这里不考虑其他情况），所以m，n，o等于0，p = 1。最终可以得出等式：

V’(x’, y’, z’, 1) = M[(1, 0, 0, T1),
                      (0, 1, 0, T2),
                      (0, 0, 1, T3),
                      (0, 0, 0, 1 )] × V(x, y, z, 1)

M即为平移矩阵。

2、变换矩阵：旋转

比较下面两个等式：

x’ = x cosβ – y sinβ
x’ = ax + by + cz + dw

要满足上述两等式表示相同的意思，那么a = cosβ，b = -sinβ， c和d等于0。沿此方法最终可以得出：

V’(x’, y’, z’ 1) = M[(cosβ, -sinβ, 0, 0),
                     (sinβ,  cosβ, 0, 0),
                     ( 0  ,   0  , 1, 0),
                     ( 0  ,   0  , 0, 1)] × V(x, y, z, 1)

M即为旋转矩阵。

3、变换矩阵：缩放

比较下面两个等式：

x’ = S1 × x
x’ = ax + by + cz + dw

要满足上述两等式表达相同的意思，那么a = S1，b、c和d等于0。沿此方法最终可以得出：

V’(x’, y’, z’, 1) = M[(S1,  0,  0, 0),
                      ( 0, S2,  0, 0),
                      ( 0,  0, S3, 0),
                      ( 0,  0,  0, 1)] × V(x, y, z, 1)

M即为缩放矩阵。

三、总结

从本质上讲，变换矩阵的某一种变换和对应的普通变换使用的是相同的数学原理，只不过在矩阵与矢量的乘法运算过程中，按照一定的运算规则将运算最终转换成了对应的普通运算，但是变换矩阵的真正优势在于可以合并移动、旋转和缩放操作，并将变换一次性作用于目标图形上。